Les opérateurs logiques

Introduction

Cette unité d'apprentissage introduit la notion de logique booléenne, opérateurs logiques et cirtuits logiques. Elle propose des exercices numériques sous forme de QCM et présente l'utilisation des opérateurs logiques en Python.

• prérequis : notions d'opérateurs arithmétiques et de fonctions
• temps : une heure de cours et une heure d'exercices d'application
• modalités : cours avec prise de notes puis exercices numériques sur ordinateur

Découverte des opérateurs logiques

George BOOLE était un mathématicien britannique (1815 - 1864) qui a inventé l'algèbre qui porte son nom : l'algèbre de Boole (on parle aussi de logique booléenne).

En logique booléenne les variables ne peuvent prendre que 2 états : vrai ou faux

L'état vrai est noté aussi True (vrai en anglais) ou 1 (1 logique).

L'état faux est noté aussi False (faux en anglais) ou 0 (0 logique).

L'opérateur NOT : il renvoit True seulement si l'entrée est False

L'opérateur NOT est appelé le non logique (ou inverseur logique).

Remarque : la sortie de l'opérateur NOT est égale au complément de l'entrée.

L'opérateur AND : il renvoit True seulement si les deux entrées sont toutes True

L'opérateur AND est appelé le ET logique.

L'opérateur OR : il renvoit False seulement si les deux entrées sont toutes False

L'opérateur OR est appelé le OU logique (ou inclusif)

L'opérateur XOR : il renvoit True si les deux entrées sont dans un état différent.

L'opérateur XOR est appelé le ou-exclusif logique.

En résumé il existe 4 opérateurs logiques, les voici :

Exemples d'applications :

Rappel :

• True est strictement équivalent à 1
• False est strictement équivalent à 0

0 and 1 = 0

1 or 0 = 1

1 xor 1 =0

not(1) = 0

not (1 and 0) = 1

not(0 xor 1) or (1 and 0) = 0

etc.

Priorités des opérateurs logiques :

Le ET est prioritaire devant le OU, et le OU a la même priorité que le OU-Exclusif.

Illustrations :

0 and 1 or 0 = (0 and 1) or 0

0 or 1 and 0 = 0 or (1 and 0)

0 or 1 xor 0 = (0 or 1) xor 0 = 0 or (1 xor 0)

Exercices sur les opérateurs logiques

Pour vous entraîner sur les opérateurs logiques répondez aux questions du thème "Les opérateurs logiques" de ce QCM tout en gardant cette page ressource ouverte en un premier temps.

Découverte des circuits logiques

Chaque fonction logique possède un symbole graphique :

les symboles des fonctions logiques de base
opérateur	symbole	fonction logique	valeur de la sortie
not		NON	S=1 ssi A=0
and		ET	S=1 ssi A=1 ET B=1
or		OU	S=0 ssi A=0 ET B=0
xor		OU-Exclusif	S=0 si A=B

De plus les fonctions logiques ET, OU et OU-Exclusif existent en versions complémentées :

les symboles des fonctions logiques complémentées
opérateur	symbole	fonction logique	valeur de la sortie
nand		ET-NON	S=0 ssi A=1 ET B=1
nor		OU-NON	S=1 ssi A=0 ET B=0
xnor		OU-Exclusif-NON	S=1 si A=B

En utilisant plusieurs symboles des opérateurs de base il est possible de représenter des fonctions logiques complexes sous forme de circuits logiques. La représentation graphique de la fonction logiques est alors appelé un logigramme. Exemple de logigramme (représentation graphique d'un circuit logique) :

exemple de logigramme avec 3 entrée A, B, C et une sortie S

Combien vaut la sortie S de ce logigramem si A=0 B=1 et C=0 ? Réponse : S=1

Combien vaut la sortie S de ce logigramem si A=1 B=0 et C=1 ? Réponse : S=0

En fonction des valeurs logiques des entrées d'un logigramme (0 ou 1) il sera toujours possible de déterminer la valeur de sa sortie S (0 ou 1).

Exercices sur les circuits logiques

Pour vous entraîner sur les logigrammes répondez à ce QCM.

 

Utilisation des opérateurs logiques en Python

En Python les opérateurs logiques de base sont notés and, or et not.

Les fonctions logiques nand, nor, xor et xnor n'existent pas en natif mais sont facilement programmables :

def nand(e1,e2):
     return not(e1 and e2)

def nor(e1,e2):
     return not(e1 or e2)

def xor(e1,e2):
     return e1!=e2

def xnor(e1,e2):
     return e1==e2

En Python les états logiques sont notés True et False et sont équivalents à 1 et 0 :

>>> True and False
False
>>> int(True)
1
>>> int(False)
0
>>> bool(1)
True
>>> bool(0)
False

Exemple d'utilisation des opérateurs logiques en Python :

>>> True or False
True
>>> True and True
True
>>> not(True)
False
>>> not(False)
True
>>> not(False or True)
False
>>> not(True and True)
False
>>> not(0)
True
>>> not(1)
False
>>> 0 and 1
0
>>> 0 or 1
1

Grâce aux opérateurs logiques et aux opérateurs de comparaison il est possible de formuler des conditions logiques complexes en Python.

Exemples de conditions logiques en Python :

>>> 5<9
True
>>> 2>=6
False
>>> 10!=12 and 7==(5+2)
True
>>> a=8
>>> a>5 and a<10
True
>>> a%2!=0 or a+1==10
False
>>> not(a==8)
False
>>> not(10<a)
True

Pour vous entraîner sur les conditions logiques en Python répondez aux questions des thèmes "Les opérateurs logiques" et "Les conditions logiques" de ce QCM.